✎ Algorithme de seuil

Méthode

Lorsqu'une suite admet une limite finie ou infinie, on peut s'intéresser à déterminer le rang à partir duquel les termes vérifient une condition.

Par exemple, si elle converge vers un réel  \(l\) , chercher le rang à partir duquel les termes de la suite sont proches de  \(l\)  à  \(10^{-3}\)  près ou, si elle diverge vers  \(+\infty\) , déterminer le rang tel que les termes soient supérieurs à un réel positif fixé. 

Pour répondre à ce problème, on utilise généralement ce que l'on appelle un algorithme de seuil. 

Voici deux exemples de résolution d'un problème de seuil par :

• La table du mode « suite » de la calculatrice et on procède par balayage ; 
  
• Un programme écrit en langage Python. 
  

Exemple 1
La suite  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  définie par  \(u_n=-n^3\)  tend vers  \(-\infty\)  lorsque  \(n\)  tend vers  \(+\infty\) . On cherche le rang à partir duquel les termes sont plus petits que  \(1\ 000\ 000\) . 
Pour cela, on regarde la table de la suite à la calculatrice puis on règle l'intervalle de façon à trouver  \(n\) . 

On obtient que  \(u_n<-1\ 000\ 000\) lorsque \(n>100\) . 

Exemple 2
La suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  définie par  \(\begin{cases} v_0 = 0 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, v_{n+1} =\sqrt{3v_n+4} \end{cases}\)  tend vers  \(4\)  lorsque  \(n\)  tend vers  \(+\infty\) . On cherche le rang à partir duquel  \(v_n\)  se rapproche de sa limite avec une précision de  \(10^{-4}\)  près. On admet que la suite est croissante. 
On utilise un algorithme Python qui calcule chaque terme de la suite et le compare à  \(4-0,0001=3,9999\) .
On teste chaque terme en le comparant à  \(3,9999\)  et on renvoie le premier indice \(p\)  tel que \(v_p\geqslant3,9999\) . Il est convenable d’utiliser une boucle « tant que ».

\(\begin{array}{}\texttt{p=0}\\\texttt{v=0}\\\texttt{while v<3.9999:}\\\qquad\texttt{v=sqrt(3*v+4)}\\\qquad\texttt{p=p+1}\\\texttt{print(p)}\\\end{array}\)

Le programme renvoie \(p=12\) . Les termes de la suites se rapprochent de \(\text 4\) avec une précision supérieure à \(10^{-4}\) à partir du terme de rang \(\text{12}\) .